Über einige lineare Räume von nichtlinearen Abbildungen

Nichtlineare Abbildungen von einem topologischen Raum Al in einen topologischen Raum M'' sind in den letzten Jahrzehnten in einem immer stärkeren Maße behandelt worden. Da die Autoren in der Regel an numerischen Problemstellungen orientiert waren, wurden meist Abbildungen in Hilbert- oder in Banachräumen behandelt. Es fehlten aber Untersuchungen über die Gestalt einer beliebigen nichtlinearen Abbildung von Min M''. Die Bedingung der Linearität im Urbildraum ist in den meisten Fällen nicht erforderlich, wenn nicht Probleme im Zusammenhang mit der Differenzierbarkeit untersucht werden. Dagegen ist die Bedingung der Linearität im Bildraum kaum entbehrlich, wenn man überhaupt von nicht-»linearen« Abbildungen sprechen will. Verhältnismäßig neu ist das Interesse an topologischen, insbesondere an topologischen linearen Räumen von Abbildungen. Das Studium dieser Topologien ist aber gerade dann besonders wichtig, wenn man Aussagen über den Grenzwert einer Folge von Abbildungen gewinnen will. Insbesondere ist von Interesse, ob sich jede stetige prä­ kompakte Abbildung durch Abbildungen mit endlichdimensionalem Bildraum ap­ proximieren läßt. Die Antwort auf diese Frage ist allein schon deshalb so schwierig, weil sie mit dem bislang noch ungelösten »Basisproblem« zusammenhängt.